संबंध और फलन (Relation & Function)
प्रश्नानली-1.1
1. निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य , सममित तथा संक्रामक हैं :
(i) समुच्चय A = { 1, 2 ,3 ……………..13,14 } में संबंध R , इस प्रकार परिभाषित है कि R = { (x ,y) : 3x – y = 0}
(ii) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में R = {(x ,y) : y=x + 5 तथा x < 4 } द्वारा परिभाषित संबंध R
(iii) समुच्चय A = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } में R = {(x ,y) : y भाज्य है x से } द्वारा परिभाषित संबंध R है |
(iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = {(x ,y) : x-y एक पूर्णांक है } द्वारा परिभाषित संबंध R
(v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R
(a) R = {(x ,y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं }
(b) R = {(x ,y) : x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं }
(c) R = {(x ,y) : x ,y से ठीक-ठीक 7 सेमी. लंबा है }
(d) R = {(x ,y) : x ,y की पत्नी है }
(e) R = {(x ,y) : x ,y के पिता है }
हल :- (i) A = { 1 ,2 ,3 ……………..13 ,14 }
R = { (x ,y) : 3x – y = 0}
[latex] \therefore [/latex] R = {(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)}
R स्वतुल्य नहीं है ,क्योंकि (1,1),(2,2),(3,3)……….(13,13),(14,14) [latex] \notin [/latex] R
R सममित नहीं है ,क्योंकि (1,3) [latex] \in [/latex] R लेकिन (3,1) [latex] \notin [/latex] R
तथा R संक्रामक नहीं है ,क्योंकि (1,3),(3,9) [latex] \in [/latex] R लेकिन (1,9) [latex] \notin [/latex] R
अतः R न स्वतुल्य है , न संक्रामक और न ही सममित संबंध है |
(ii) R = {(x ,y) : y=x + 5 तथा x < 4 }
R = {(1,6),(2,7),(3,8)}
R स्वतुल्य नहीं है ,क्योंकि (1,1) [latex] \notin [/latex] R
R सममित नहीं है ,क्योंकि (1,6) [latex] \in [/latex] R लेकिन (6,1) [latex] \notin [/latex] R
तथा R संक्रामक नहीं है ,क्योंकि (x,y)[latex] \in [/latex] R तथा (y,z) [latex] \in [/latex] R लेकिन (x,z) [latex] \notin [/latex] R
अतः R न स्वतुल्य है , न संक्रामक और न ही सममित संबंध है |
(iii) A = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 }
R = {(x ,y) : y भाज्य है x से }
R स्वतुल्य नहीं है ,क्योंकि हम जानते है कि प्रत्येक संख्या स्वयं से भाज्य होती है |
अर्थात (x ,x) [latex] \in [/latex] R
R सममित नहीं है ,क्योंकि (2 ,4) [latex] \in [/latex] R लेकिन (4 ,2) [latex] \notin [/latex] R
अर्थात 4 भाज्य है 2 से लेकिन 2 भाज्य नहीं है 4 से
R संक्रामक है ,क्योंकि (1 ,2) [latex] \in [/latex] R तथा (2 ,4) [latex] \in [/latex] R तब (1 ,4) [latex] \in [/latex] R
अर्थात 2 भाज्य है 1 से , 4 भाज्य है 2 से तो 4 भाज्य होगा 1 से
अतः R स्वतुल्य है , संक्रामक है और परंतु सममित संबंध नहीं है |
(iv) R = {(x ,y) : x-y एक पूर्णांक है }
(a) स्वतुल्य संबंध :-
(x ,y) , एक पूर्णांक है
(x ,x) [latex] \in [/latex] R अर्थात x-x =0 एक पूर्णांक है |
R एक स्वतुल्य संबंध है |
(b) सममित संबंध :-
माना (x ,y) [latex] \in [/latex] R
[latex] \Rightarrow [/latex] x-y , एक पूर्णांक है |
तथा y-x , भी एक पूर्णांक है |
अतः R एक सममित संबंध है |
(c) संक्रामक संबंध :-
माना कि (x ,y) [latex] \in [/latex] R तथा (y ,z) [latex] \in [/latex] R तो (x ,z) [latex] \in [/latex] R
अर्थात (x-y) ,एक पूर्णांक है तथा (y-z), एक पूर्णांक है तो (x-z) एक पूर्णांक है |
अतः R एक संक्रामक संबंध है |
(v)
(a) R = {(x ,y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं }
(x ,x) [latex] \in [/latex] R अर्थात x और x एक ही स्थान पर कार्य करते हैं |
यदि (x ,y) [latex] \in [/latex] R तो (y ,x) [latex] \in [/latex] R
अर्थात x और y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं तो y और x भी एक स्थान पर कार्य करता है |
माना (x ,y) [latex] \in [/latex] R तथा (y ,z) [latex] \in [/latex] R तो (x ,z) [latex] \in [/latex] R
अर्थात x और y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं तथा y और z एक स्थान पर कार्य करता है तो x और z भी एक ही स्थान पर कार्य करता है |
अतः R स्वतुल्य संबंध , सममित संबंध तथा संक्रामक संबंध है |
(b) R = {(x ,y) : x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं }
(i) स्वतुल्य संबंध :-
(x ,x) [latex] \in [/latex] R अर्थात x और x एक ही मोहल्ले में रहते हैं
R एक स्वतुल्य संबंध है |
(ii) सममित संबंध :-
यदि (x ,y) [latex] \in [/latex] R तो (y ,x) [latex] \in [/latex] R
अर्थात x और y एक ही मोहल्ले में रहते हैं तथा y और x एक ही मोहल्ले में रहते हैं |
अतः R एक सममित संबंध है |
(iii) संक्रामक संबंध :-
माना कि (x ,y) [latex] \in [/latex] R तथा (y ,z) [latex] \in [/latex] R तो (x ,z) [latex] \in [/latex] R
अर्थात z और y एक मोहल्ले में रहते हैं तथा y और z एक मोहल्ले में रहते हैं तो x और z भी एक मोहल्ले में रहते हैं
अतः R एक संक्रामक संबंध है |
(c) R = {(x ,y) : x ,y से ठीक-ठीक 7 सेमी. लंबा है }
(i) स्वतुल्य संबंध :-
(x ,x) [latex] \notin [/latex] R अर्थात कोई भी स्वयं से लंबा नहीं को सकता है |
अतः R एक स्वतुल्य संबंध नहीं है |
(ii) सममित संबंध :-
(x ,y) [latex] \in [/latex] R तथा (y ,x) [latex] \notin [/latex] R अर्थात x ,y से 7 सेमी. लंबा है लेकिन y ,x से 7 सेमी. छोटा है |
अतः R एक सममित संबंध नहीं है |
(iii) संक्रामक संबंध :-
माना (x ,y) [latex] \in [/latex] R तथा (y ,z) [latex] \in [/latex] R अर्थात x ,y से ठीक 7cm लंबा है तथा y ,z से 7 cm लंबा है तो x ,z से 14 cm लंबा है |
[latex] \therefore [/latex] (x ,z) [latex] \notin [/latex] R
अतः R एक संक्रामक संबंध नहीं है |
(d) R = {(x ,y) : x ,y की पत्नी है }
(i) स्वतुल्य संबंध :-
(x ,x) [latex] \notin [/latex] R अर्थात कोई स्वयं की पत्नी नहीं हो सकती |
अतः R एक स्वतुल्य संबंध नहीं है |
(ii) सममित संबंध :-
(x ,y) [latex] \in [/latex] R तथा (y ,x) [latex] \notin [/latex] R अर्थात x ,y की पत्नी है और y ,x की पति है न कि पत्नी |
अतः R एक सममित संबंध नहीं है |
(iii) संक्रामक संबंध :-
माना (x ,y) [latex] \in [/latex] R तथा (y ,z) [latex] \in [/latex] R अर्थात x ,y की पत्नी है और y ,z की पत्नी है | परंतु यह संभव नहीं है |
[latex] \therefore [/latex] (x ,z) [latex] \notin [/latex] R
अतः R एक संक्रामक संबंध नहीं है |
(e) R = {(x ,y) : x ,y के पिता है }
(i) स्वतुल्य संबंध :-
(x ,x) [latex] \notin [/latex] R अर्थात कोई स्वयं की पिता नहीं हो सकता |
अतः R एक स्वतुल्य संबंध नहीं है |
(ii) सममित संबंध :-
(x ,y) [latex] \in [/latex] R तथा (y ,x) [latex] \notin [/latex] R अर्थात x ,y के पिता है और y ,x के बेटा है |
अतः R एक सममित संबंध नहीं है |
(iii) संक्रामक संबंध :-
माना (x ,y) [latex] \in [/latex] R तथा (y ,z) [latex] \in [/latex] R अर्थात x ,y के पिता है और y ,z के पिता है तो x ,z के दादा हैं
[latex] \therefore [/latex] (x ,z) [latex] \notin [/latex] R
अतः R एक संक्रामक संबंध नहीं है |
2. सिध्द कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = {(a ,b) : a [latex] \le [/latex] b2 } द्वारा परिभाषित संबंध R , न तो स्वतुल्य है , न सममित है और न ही संक्रामक है |
हल :- (i) स्वतुल्य संबंध :-
R = {(a ,b) : a [latex] \le [/latex] b2 }
([latex] \frac{1}{2},\frac{1}{2} [/latex]) [latex] \notin [/latex] R क्योंकि [latex] \frac{1}{2} > \left(\frac{1}{2}\right)^2 [/latex]
अतः R एक स्वतुल्य संबंध नहीं है |
(ii) सममित संबंध :-
(1 ,4) [latex] \in [/latex] R लेकिन (4 ,1) [latex] \notin [/latex] R अर्थात 1 , 42 लेकिन 4 , 12 से छोटा नहीं है |
अतः R एक सममित संबंध नहीं है |
(iii) संक्रामक संबंध :-
(3 ,2) [latex] \in [/latex] R तथा (2 ,1.5) [latex] \in [/latex] R लेकिन (3 ,1.5) [latex] \notin [/latex] R
अर्थात (3 ,22) तथा (2 ,(1.5)2) लेकिन (3 > (1.5)2)
[latex]\Longrightarrow [/latex] (3<4) तथा (2<2.25) लेकिन (3>2.25)
अतः R एक संक्रामक संबंध नहीं है |
3. जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय {1,2,3,4,5,6} में R={(a ,b) : b= a+1 } द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य ,सममित या संक्रामक है ।
हल :- माना कि A={1,2,3,4,5,6}
R={(a ,b) : b= a+1 }
R = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)} जहाँ a [latex] \in [/latex] A
(i) स्वतुल्य संबंध :-
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) [latex] \notin [/latex] R
अतः R एक स्वतुल्य संबंध नहीं है |
(ii) सममित संबंध :-
(1,2) [latex] \in [/latex] R तथा (2,1) [latex] \notin [/latex]
अतः R एक सममित संबंध नहीं है |
(iii) संक्रामक संबंध :-
(1,2) [latex] \in [/latex] R तथा (2,3) [latex] \in [/latex] R लेकिन (1,3) [latex] /notin [/latex] R
अतः R एक संक्रामक संबंध नहीं है |
अतः R न स्वतुल्य है , न संक्रामक और न ही सममित संबंध है |
4. सिध्द कीजिए कि R में R={(a ,b) : a [latex]\le [/latex] b द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है ।
हल :- (i) स्वतुल्य संबंध :-
(a ,a) [latex] \in [/latex] R क्योकिं (a = a)
अतः R एक स्वतुल्य संबंध है |
(ii) सममित संबंध :-
(2 ,4) [latex] \in [/latex] R तथा (4 ,2) [latex] \notin [/latex] R क्योंकि 2 < 4 लेकिन 4 > 2
अतः R एक सममित संबंध नहीं है |
(iii) संक्रामक संबंध :-
माना (a ,b) [latex] \in [/latex] R तथा (b ,c) [latex] \in [/latex] R तो (a ,c) [latex] \in [/latex] R
क्योंकि a [latex] \le [/latex] b तथा b [latex] \le [/latex] c तो a [latex] \le [/latex] c
अतः R एक संक्रामक संबंध है |
अतः R स्वतुल्य संबंध तथा , संक्रामक संबंध है किंतु सममित संबंध नहीं है |
5. जाँच कीजिए कि क्या R में R = {(a ,b) : a [latex] \le [/latex] b3 } द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य , सममित अथवा सम
हल :- R = {(a ,b) : a [latex] \le [/latex] b3 }
(i) स्वतुल्य संबंध :-
माना [latex] \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) [/latex] [latex] \notin [/latex] R क्योंकि [latex] \frac{1}{2}>\left(\frac{1}{2}\right)^3 [/latex]
अतः R एक स्वतुल्य संबंध नहीं है |
(ii) सममित संबंध :-
माना कि (1,2) [latex] \in [/latex] R लेकिन (2,1) [latex] \notin [/latex] R
क्योंकि 1< [latex] 2^3 [/latex] लेकिन [latex] 2^3 [/latex] > 1
अतः R एक सममित संबंध नहीं है |
(iii) संक्रामक संबंध :-
माना [latex] \left(3,\ \frac{3}{2}\right) [/latex] [latex] \in [/latex] R तथा [latex] \left(\ \frac{3}{2},\frac{6}{5}\right) [/latex] [latex] \in [/latex] R लेकिन [latex] \left(3,\ \frac{6}{5}\right) [/latex] [latex] \notin [/latex] R
क्योंकि 3 < [latex] \left(\frac{3}{2}\right)^3 [/latex] तथा [latex] \frac{3}{2} [/latex] < [latex] \left(\frac{6}{5}\right)^3 [/latex] लेकिन 3 > [latex] \left(\frac{6}{5}\right)^3 [/latex]
अतः R एक संक्रामक संबंध नहीं है |
अतः R न स्वतुल्य है , न संक्रामक और न ही सममित संबंध है |
6. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1,2,3} में R= {(1,2),(2,1)} द्वारा प्रदत्त संबंध r सममित है किंतु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है ।
माना कि A= {1,2,3}
R = {1,2),(2,1 )
(i) स्वतुल्य संबंध :-
यहाँ (1,1) , (2,2), (3,3) [latex] \notin [/latex] R
अतः R एक स्वतुल्य संबंध नहीं है |
(ii) सममित संबंध :-
(1,2) [latex] \in [/latex] R तथा (2,1) [latex] \in [/latex] R
अतः R एक सममित संबंध है |
(iii) संक्रामक संबंध :-
माना (1,2) [latex] \in [/latex] R तथा (2,1) [latex] \in [/latex] R लेकिन (1,1) [latex] \notin [/latex] R
अतः R एक संक्रामक संबंध नहीं है |
अतः R स्वतुल्य संबंध तथा , संक्रामक संबंध नहीं है , किंतु सममित संबंध है |
7. सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय A में R={(x ,y) : x तथा y में पेजों की संख्या समान है } द्वारा प्रदत संबंध R एक तुल्यता संबंध है ।
(i) स्वतुल्य संबंध :-
x तथा x में पेजों की संख्या समान है
[latex] \Rightarrow [/latex] (x ,x) [latex] \in [/latex] R
अतः R एक स्वतुल्य संबंध है |
(ii) सममित संबंध :-
माना (x ,x) [latex] \in [/latex] R
[latex] \Rightarrow [/latex] x और y में पेजों की संख्या समान है ।
[latex] \Rightarrow [/latex] y और x में पेजों की संख्या समान है ।
[latex] \Rightarrow [/latex] (y ,x) [latex] \in [/latex] R
अतः R एक सममित संबंध है |
(iii) संक्रामक संबंध :-
माना कि (x ,y) [latex] \in [/latex] R तथा (y ,z) [latex] \in [/latex] R
[latex] \Rightarrow [/latex] x और y में पेजों की संख्या समान है ।
[latex] \Rightarrow [/latex] y और z में पेजों की संख्या समान है ।
[latex] \Rightarrow [/latex] x और z में पेजों की संख्या समान है ।
[latex] \Rightarrow [/latex] (x ,z) [latex] \in [/latex] R
अतः R एक संक्रामक संबंध है |
अतः R एक तुल्यता संबंध है |
8. सिद्ध कीजिए कि A = {1,2,3,4,5} में R = {(a ,b) : |a-b| सम है } द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है । प्रमाणित कीजिए कि {1,3,5} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय {2,4} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं परंतु {1,3,5} का कोई अवयव {2,4} के किसी अवयव से संबंधित नहीं पै ।
A= {1,2,3,4,5}
R={(a ,b) : |a-b| सम है }
(i) स्वतुल्य संबंध :-
प्रश्न के अनुसार , सभी a [latex] \in [/latex] A
|a-a| = 0 (सम है )
अर्थात |1-1| =0 , |2-2|=0 …….. |5-5|=0
अतः R एक स्वतुल्य संबंध है |
(ii) सममित संबंध :-
[latex] \Rightarrow [/latex] (a ,b) [latex] \in [/latex] R
[latex] \Rightarrow [/latex] |a-b| (सम है )
[latex] \Rightarrow [/latex] |-(-a + b)| (सम है )
[latex] \Rightarrow [/latex] |b-a| (सम है )
[latex] \Rightarrow [/latex] (b ,a) [latex] \in [/latex] R
अतः R एक सममित संबंध है |
(iii) संक्रामक संबंध :-
माना कि (a ,b) [latex] \in [/latex] R तथा (b ,c) [latex] \in [/latex] R
[latex] \Rightarrow [/latex] |a-b| सम है तथा |b-c| सम है
[latex] \Rightarrow [/latex] (a-b) सम है तथा (b-c) सम है
[latex] \Rightarrow [/latex] (a-c) सम है क्योंकि दो सम संख्याओं का योग सम होता है ।
[latex] \therefore [/latex] (a ,c) [latex] \in [/latex] R
अतः R एक संक्रामक संबंध है |
अतः R एक तुल्यता संबंध है |
समुच्चय {1,3,5} के सभी अवयव एक-दूसरे संबंधित हैं क्योंकि इसके सभी अवयव विषम हैं । विषम संख्याओं का अंतर सदैव सम होता है । इसी प्रकार , समुच्चय {2,4} के सभी अवयव एक-दूसरे संबंधित हैं क्योंकि इसके सभी अवयव सम हैं । सम संख्याओं का अंतर सदैव सम होता है ।
समुच्चय {1,3,5} का कोई भी अवयव समुच्चय {2,4} के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं हैं , क्योंकि समुच्चय {1,3,5} के सभी अवयव विषम है तथा समुच्चय {2,4} के सभी अवयव सम है । सम और विषम संख्याओं का अंतर सदैव विषम होता है ।
जैसे :- {1-2, 1-4, 3-2, 3-4, 5-2, 5-4 सभी संख्या विषम है }
9. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A={x [latex] \in [/latex] z : 0[latex] \le [/latex] x[latex] \le [/latex]12 } , में दिए गए निम्नलिखित संंबंधों R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है :
(i) R ={(a ,b) : |a-b| , 4 के एक गुणज है }
(ii) R = {(a ,b) : a=b}
प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए ।
(i) R ={(a ,b) : |a-b| , 4 के एक गुणज है }
(a) स्वतुल्य संबंध :-
|a-a|, 4 का एक गुणज है
[latex] \Rightarrow [/latex] (a , a) [latex] \in [/latex] R
अतः R एक स्वतुल्य संबंध है |
(b) सममित संबंध :-
माना (a ,b) [latex] \in [/latex] R
[latex] \Rightarrow [/latex] |a-b| , 4 का एक गुणज है
[latex] \Rightarrow [/latex] |a-b| = 4k [k [latex] \in [/latex] z ]
[latex] \Rightarrow [/latex] |-(b-a)| = 4k
[latex] \Rightarrow [/latex] |b-a| = 4k
[latex] \Rightarrow [/latex] |b-a| , 4 का एक गुणज है |
[latex] \Rightarrow [/latex] (b ,a) [latex] \in [/latex] R
अतः R एक सममित संबंध है |
(c) संक्रामक संबंध :-
माना (a ,b) [latex] \in [/latex] R तथा (b ,c) [latex] \in [/latex] R
[latex] \Rightarrow [/latex] |a-b| , 4 का एक गुणज है तथा |b-c| , 4 का एक गुणज है
[latex] \Rightarrow [/latex] |a-b| = [latex] 4k_1 [/latex] (माना) तथा |b-c| = [latex] 4k_2 [/latex] (माना) { [latex] k_1,k_2 [/latex] [latex] \in [/latex] z }
[latex] \Rightarrow [/latex] a-b = [latex] \pm4k_1 [/latex] ……… (i) तथा b-c = [latex] \pm4k_2 [/latex] …….(ii)
समीकरण (i) + समीकरण (ii) करने पर
[latex] \Rightarrow [/latex] a – b + b – c = [latex] \pm{4k}_1\pm{4k}_2 [/latex]
[latex] \Rightarrow [/latex] a – c = 4( [latex] \pm[/latex] [latex] k_1[/latex] [latex] \pm[/latex] [latex] k_2 [/latex] ) [latex] \because [/latex] {([latex] \pm[/latex] [latex] k_1[/latex] [latex] \pm[/latex] [latex] k_2 [/latex] ) [latex] \in [/latex] z }
[latex] \Rightarrow [/latex] | a – c | , 4 का एक गुणज है ।
[latex] \Rightarrow [/latex] (a ,c) [latex] \in [/latex] R
अतः R एक संक्रामक संबंध है |
अतः R एक तुल्यता संबंध है |
(ii) R ={(a ,b) : a = b }
(a) स्वतुल्य संबंध :-
(a ,a) [latex] \in [/latex] R क्योंकि a = a
अतः R एक स्वतुल्य संबंध है |
(b) सममित संबंध :-
माना (a ,b) [latex] \in [/latex] R
[latex] \Rightarrow [/latex] a = b [latex] \Rightarrow [/latex] b = a
[latex] \therefore [/latex] (b ,a) [latex] \in [/latex] R
अतः R एक सममित संबंध है |
(c) संक्रामक संबंध :-
माना (a ,b) [latex] \in [/latex] R तथा (b ,c) [latex] \in [/latex] R
[latex] \therefore [/latex] a = b तथा b = c
[latex] \therefore [/latex] a = c
[latex] \therefore [/latex](a ,c) [latex] \in [/latex] R
अतः R एक संक्रामक संबंध है |
अतः R एक तुल्यता संबंध है |
10. ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए , जो
(i) सममित हो , परंतु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो ।
(ii) संक्रामक हो , परंतु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो ।
(iii) स्वतुल्य तथा सममित हो किंतु संक्रामक न हो ।
(iv) स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किंतु सममित न हो ।
(iv) सममित तथा संक्रामक हो किंतु स्वतुल्य न हो ।
हल :-
(i) माना A = {5,6.7}
तथा संबंध R = {(5,6), (6,5)}
संबंध R स्वतुल्य नहीं है क्योंकि (5 ,5) , (6 ,6) , (7 ,7) [latex] \notin [/latex] R
संबंध R सममित है क्योंकि (5 ,6) [latex] \in [/latex] R और (6 ,5) [latex] \in [/latex] R
संबंध R संक्रामक नहीं है क्योंकि (5 ,6) [latex] \in [/latex] R तथा (6 ,5) [latex] \in [/latex] R लेकिन (5 ,5) [latex] /notin [/latex] R
अतः संबंध R सममित संबंध है परंतु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक है ।